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O Mistério do Quadrado Mágico

Você conhece o Quadrado Mágico? Venha descobrir os seus segredos, saber a ciência por trás da ilusão e aprender a fazer um.

Um Quebra-Cabeças Fascinante

O quadrado mágico é um intrigante quebra-cabeça matemático que tem fascinado pessoas ao longo da história. Sua remonta a civilizações antigas, e sua presença pode ser rastreada em diversas culturas, como chinesa, indiana, árabe e europeia.

Na China antiga, acreditava-se que o lendário quadrado mágico “Lo Shu” havia sido descoberto nas costas de uma tartaruga sagrada e teria sido usado em práticas de feng shui. No ocidente, na época do Renascimento, o artista Albrecht Dürer incorporou um quadrado mágico de ordem 4 na sua famosa gravura “Melancolia I”. Este quadrado mágico contém o ano de criação da obra (1514) nos dois quadrados centrais da última linha.

Além disso, quadrados mágicos também aparecem na literatura e na arte, sendo frequentemente associados a conceitos de harmonia, perfeição e mistério. Algumas pessoas acreditam que eles possuem propriedades místicas e podem trazer sorte ou equilíbrio, enquanto matemáticos e entusiastas dos quebra-cabeças continuam a explorar suas complexidades e variações infinitas.

O Quadrado Mágico na Matemática

Este arranjo de números em uma grade quadrada forma uma matriz onde a soma de cada linha, coluna e diagonal principal resulta no mesmo valor mágico. A estrutura básica é composta por números inteiros dispostos em uma grade quadrada de modo que a soma de todos os números em qualquer linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma. Para entender como funciona, podemos explorar as propriedades e regras que regem a construção desses intrigantes arranjos.

Primeiro Passo – A Constante Mágica

A propriedade fundamental dos quadrados mágicos é que a soma dos números em qualquer linha, coluna ou diagonal é igual à constante mágica. Esta característica única torna o quadrado mágico um objeto matemático intrigante e desafiador, mas não indecifrável.

A ordem de um quadrado mágico refere-se ao número de células em cada lado do quadrado. Por exemplo, um quadrado mágico de ordem 3 terá 3 células em cada linha e coluna. Para construir um o primeiro passo é escolher uma constante mágica, que é a soma desejada para cada linha, coluna e diagonal. Esta constante mágica é obtida pela fórmula:

quadrado mágico

Nesta fórmula, “n” é a ordem do quadro mágico. No desenho a seguir a ordem (n) é “4”, e a Constante Mágica é “34”. Assim temos (4*(42+1))/2 = 34

quadrado mágico
Neste quadrado mágico de ordem “4”, a soma dos números em qualquer linha resulta no número “34”

Segundo Passo – Preenchendo o Quadrado Mágico

O método mais comum é através da técnica de preenchimento incremental. Começamos preenchendo a célula central da primeira linha com o número 1. Em seguida, movemo-nos para a célula acima e à direita, continuando de forma incremental até preencher todo o quadrado. Se uma célula estiver fora dos limites do quadrado, devemos voltar para o lado oposto. Se a célula já estiver ocupada, movemo-nos para a célula diretamente abaixo.

Para um quadrado mágico de ordem ímpar, como 3×3 ou 5×5, este método geralmente funciona bem e resulta em um quadrado mágico. No entanto, para ordens pares, como 4×4, a construção é mais complexa e envolve técnicas adicionais. Está preparado? Então vamos lá!

Quadrado Mágico de Ordem “4”

Criar um quadrado mágico de ordem 4, também conhecido como quadrado mágico de 4×4, pode ser um pouco mais complexo do que criar quadrados mágicos de ordem ímpar, mas existem métodos específicos que facilitam esse processo. Um dos métodos mais conhecidos é o método de construção de Siam (ou método siamês), adaptado para ordens pares, ou o método de “troca de células”. Aqui está uma abordagem passo a passo para criar um quadrado mágico de ordem 4 usando o método de troca de células:

Passo 1: Preenchimento Sequencial

Primeiro, preencha a matriz 4×4 com os números de 1 a 16 em ordem sequencial. O resultado será algo assim:

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15 16

Passo 2: Troca de Células

Em seguida, realizamos a troca de células específicas para transformar a matriz em um quadrado mágico. Para isso, usamos um método conhecido como “método da cruz”:

  • Troque as células das quatro esquinas.
  • Troque as células dos centros das quatro bordas.
  • Troque as células do centro do quadrado.

Vamos visualizar essas trocas:

  1. Troque as quatro esquinas:
  • Troque (1,1) com (4,4)
  • Troque (1,4) com (4,1)
  • Troque (4,4) com (1,1)
  • Troque (4,1) com (1,4) Depois dessa troca, a matriz fica assim:
   16  2  3 13
    5  6  7  8
    9 10 11 12
    4 14 15  1
  1. Troque as células dos centros das quatro bordas:
  • Troque (1,2) com (4,3)
  • Troque (1,3) com (4,2)
  • Troque (2,1) com (3,4)
  • Troque (2,4) com (3,1) Após essa troca, a matriz será assim:
   16  3  2 13
   5 10 11  8
   9  6  7 12
   4 15 14  1
  1. Troque as células do centro:
  • Troque (2,2) com (3,3)
  • Troque (2,3) com (3,2) Depois dessa troca, a matriz final será:
   16  3  2 13
   5 11 10  8
   9  7  6 12
   4 15 14  1

Agora, temos um quadrado mágico de ordem 4, onde a soma de cada linha, coluna e diagonal principal é igual a 34, que é a constante mágica para um quadrado de ordem 4, calculada como:

Constante Mágica = (n * (n2 + 1))/2 = (4*(42+1))/2 = 34

Verificação

Para garantir que o quadrado é realmente mágico, podemos verificar as somas:

  • Linhas: 16+3+2+13 = 34, 5+11+10+8 = 34, 9+7+6+12 = 34, 4+15+14+1 = 34
  • Colunas: 16+5+9+4 = 34, 3+11+7+15 = 34, 2+10+6+14 = 34, 13+8+12+1 = 34
  • Diagonais: 16+11+6+1 = 34, 13+10+7+4 = 34

Essa abordagem assegura que a matriz 4×4 é um quadrado mágico. Embora existam outras técnicas para criar quadrados mágicos de ordem par, como o método de Albrecht Dürer ou o método de construção de quadrados de ordem 4, o método da troca de células é uma das mais diretas e fáceis de entender.

Aplicações Práticas

Os quadrados mágicos têm aplicações em diversas áreas, desde jogos de quebra-cabeça até matemática recreativa e até mesmo em práticas espirituais em algumas culturas. Sua natureza intrigante e propriedades matemáticas únicas continuam a cativar a mente das pessoas, levando a uma variedade de estudos e pesquisas ao longo dos séculos.

No entanto, vale ressaltar que a construção de quadrados mágicos nem sempre é uma tarefa simples. Existem casos em que é impossível formar um quadrado mágico com determinados números, e essa peculiaridade adiciona uma camada extra de complexidade ao estudo dessas estruturas.

O quadrado mágico é um conceito fascinante que transcende fronteiras culturais e temporais. Sua presença ao longo da história revela a universalidade do apelo matemático e a capacidade de conectar mentes através de desafios intelectuais. Construir e explorar quadrados mágicos não apenas oferece uma visão sobre propriedades matemáticas, mas também proporciona uma jornada enriquecedora através da história e da diversidade cultural.

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Sobre o Autor

Valdiomir Meira é graduado em letras, história e ciências contábeis, com especialização em metodologias inovadoras de educação e semiótica. Sua grande paixão é ler, viajar e ensinar. Pesquisador na área de história da ciência e educação. Além de outras atuações profissionais, como criação de conteúdo para internet e tutoriais, também é redator e editor de artigos para blogs.

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