Você conhece o Quadrado Mágico? Venha descobrir os seus segredos, saber a ciência por trás da ilusão e aprender a fazer um.
Um Quebra-Cabeças Fascinante
O quadrado mágico é um intrigante quebra-cabeça matemático que tem fascinado pessoas ao longo da história. Sua remonta a civilizações antigas, e sua presença pode ser rastreada em diversas culturas, como chinesa, indiana, árabe e europeia.
Na China antiga, acreditava-se que o lendário quadrado mágico “Lo Shu” havia sido descoberto nas costas de uma tartaruga sagrada e teria sido usado em práticas de feng shui. No ocidente, na época do Renascimento, o artista Albrecht Dürer incorporou um quadrado mágico de ordem 4 na sua famosa gravura “Melancolia I”. Este quadrado mágico contém o ano de criação da obra (1514) nos dois quadrados centrais da última linha.
Além disso, quadrados mágicos também aparecem na literatura e na arte, sendo frequentemente associados a conceitos de harmonia, perfeição e mistério. Algumas pessoas acreditam que eles possuem propriedades místicas e podem trazer sorte ou equilíbrio, enquanto matemáticos e entusiastas dos quebra-cabeças continuam a explorar suas complexidades e variações infinitas.
O Quadrado Mágico na Matemática
Este arranjo de números em uma grade quadrada forma uma matriz onde a soma de cada linha, coluna e diagonal principal resulta no mesmo valor mágico. A estrutura básica é composta por números inteiros dispostos em uma grade quadrada de modo que a soma de todos os números em qualquer linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma. Para entender como funciona, podemos explorar as propriedades e regras que regem a construção desses intrigantes arranjos.
Primeiro Passo – A Constante Mágica
A propriedade fundamental dos quadrados mágicos é que a soma dos números em qualquer linha, coluna ou diagonal é igual à constante mágica. Esta característica única torna o quadrado mágico um objeto matemático intrigante e desafiador, mas não indecifrável.
A ordem de um quadrado mágico refere-se ao número de células em cada lado do quadrado. Por exemplo, um quadrado mágico de ordem 3 terá 3 células em cada linha e coluna. Para construir um o primeiro passo é escolher uma constante mágica, que é a soma desejada para cada linha, coluna e diagonal. Esta constante mágica é obtida pela fórmula:

Nesta fórmula, “n” é a ordem do quadro mágico. No desenho a seguir a ordem (n) é “4”, e a Constante Mágica é “34”. Assim temos (4*(42+1))/2 = 34

Segundo Passo – Preenchendo o Quadrado Mágico
O método mais comum é através da técnica de preenchimento incremental. Começamos preenchendo a célula central da primeira linha com o número 1. Em seguida, movemo-nos para a célula acima e à direita, continuando de forma incremental até preencher todo o quadrado. Se uma célula estiver fora dos limites do quadrado, devemos voltar para o lado oposto. Se a célula já estiver ocupada, movemo-nos para a célula diretamente abaixo.
Para um quadrado mágico de ordem ímpar, como 3×3 ou 5×5, este método geralmente funciona bem e resulta em um quadrado mágico. No entanto, para ordens pares, como 4×4, a construção é mais complexa e envolve técnicas adicionais. Está preparado? Então vamos lá!
Quadrado Mágico de Ordem “4”
Criar um quadrado mágico de ordem 4, também conhecido como quadrado mágico de 4×4, pode ser um pouco mais complexo do que criar quadrados mágicos de ordem ímpar, mas existem métodos específicos que facilitam esse processo. Um dos métodos mais conhecidos é o método de construção de Siam (ou método siamês), adaptado para ordens pares, ou o método de “troca de células”. Aqui está uma abordagem passo a passo para criar um quadrado mágico de ordem 4 usando o método de troca de células:
Passo 1: Preenchimento Sequencial
Primeiro, preencha a matriz 4×4 com os números de 1 a 16 em ordem sequencial. O resultado será algo assim:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Passo 2: Troca de Células
Em seguida, realizamos a troca de células específicas para transformar a matriz em um quadrado mágico. Para isso, usamos um método conhecido como “método da cruz”:
- Troque as células das quatro esquinas.
- Troque as células dos centros das quatro bordas.
- Troque as células do centro do quadrado.
Vamos visualizar essas trocas:
- Troque as quatro esquinas:
- Troque (1,1) com (4,4)
- Troque (1,4) com (4,1)
- Troque (4,4) com (1,1)
- Troque (4,1) com (1,4) Depois dessa troca, a matriz fica assim:
16 2 3 13
5 6 7 8
9 10 11 12
4 14 15 1
- Troque as células dos centros das quatro bordas:
- Troque (1,2) com (4,3)
- Troque (1,3) com (4,2)
- Troque (2,1) com (3,4)
- Troque (2,4) com (3,1) Após essa troca, a matriz será assim:
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
- Troque as células do centro:
- Troque (2,2) com (3,3)
- Troque (2,3) com (3,2) Depois dessa troca, a matriz final será:
16 3 2 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 15 14 1
Agora, temos um quadrado mágico de ordem 4, onde a soma de cada linha, coluna e diagonal principal é igual a 34, que é a constante mágica para um quadrado de ordem 4, calculada como:
Constante Mágica = (n * (n2 + 1))/2 = (4*(42+1))/2 = 34
Verificação
Para garantir que o quadrado é realmente mágico, podemos verificar as somas:
- Linhas: 16+3+2+13 = 34, 5+11+10+8 = 34, 9+7+6+12 = 34, 4+15+14+1 = 34
- Colunas: 16+5+9+4 = 34, 3+11+7+15 = 34, 2+10+6+14 = 34, 13+8+12+1 = 34
- Diagonais: 16+11+6+1 = 34, 13+10+7+4 = 34
Essa abordagem assegura que a matriz 4×4 é um quadrado mágico. Embora existam outras técnicas para criar quadrados mágicos de ordem par, como o método de Albrecht Dürer ou o método de construção de quadrados de ordem 4, o método da troca de células é uma das mais diretas e fáceis de entender.
Aplicações Práticas
Os quadrados mágicos têm aplicações em diversas áreas, desde jogos de quebra-cabeça até matemática recreativa e até mesmo em práticas espirituais em algumas culturas. Sua natureza intrigante e propriedades matemáticas únicas continuam a cativar a mente das pessoas, levando a uma variedade de estudos e pesquisas ao longo dos séculos.
No entanto, vale ressaltar que a construção de quadrados mágicos nem sempre é uma tarefa simples. Existem casos em que é impossível formar um quadrado mágico com determinados números, e essa peculiaridade adiciona uma camada extra de complexidade ao estudo dessas estruturas.
O quadrado mágico é um conceito fascinante que transcende fronteiras culturais e temporais. Sua presença ao longo da história revela a universalidade do apelo matemático e a capacidade de conectar mentes através de desafios intelectuais. Construir e explorar quadrados mágicos não apenas oferece uma visão sobre propriedades matemáticas, mas também proporciona uma jornada enriquecedora através da história e da diversidade cultural.
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